Tesis

Spektrum laplacian pada graf identitas dan komplemennya pada ring bilangan bulat modulo 2p / Fidyatus Safitri

Abstrak
Teori graf aljabar adalah salah satu cabang matematika yang menggunakan metode aljabar dan graf. Salah satu jenis dari teori graf aljabar adalah spektrum graf. Penelitian terkait spektrum graf pertama kali dilakukan oleh Bigg (1974). Selanjutnya banyak peneliti lain yang mengembangkan konsep ini hingga sekarang. Salah satunya Chattopadhyay dkk (2020) meneliti tentang nilai eigen Laplacian pada graf pembagi nol pada ring Z_n. Melanjutkan penelitian tersebut penelitian ini bertujuan untuk mengkaji spektrum Laplacian pada graf identitas dan komplemennya pada ring Z_2p p prima. Misalkan G merupakan graf dengan V(G) v_1 v_2 hellip v_n sebagai himpunan titik pada G dan E(G) sebagai himpunan sisi pada G. Matriks Laplacian L(G) didefinisikan dengan L(G) D(G)-A(G). Matriks keterhubungan A(G) [a_ij ] merupakan matriks berukuran n times n dengan a_ij 1 jika v_i.v_j 1 dan a_ij 0 jika v_i.v_j ne 1. Matriks derajat D(G) adalah matriks diagonal dengan d_ii deg_G (v_i) dan d_ij 0 untuk i ne j. Jika lambda dan m( lambda ) adalah nilai eigen dan kelipatannya pada matriks L(G) maka spektrum matriks persegi G yang dinotasikan dengan Spec(G) merupakan himpunan semua nilai eigen dari G dengan kelipatannya m( lambda _1 ) m( lambda _2 ) hellip m( lambda _n). Spektrum dari graf G dapat ditulis dengan Spec(G) [ ( lambda _1 amp lambda _2 amp hellip amp lambda _n m( lambda _1) amp m( lambda _2) amp hellip amp m( lambda _n ) )]. Spektrum Laplacian dari G dinotasikan dengan Spec_L (G) adalah spektrum yang diperoleh dari matriks Laplacian G. Komplemen dari G (V(G) E(G)) dinotasikan dengan G (V(G ) E(G )) adalah graf dengan V(G ) V(G) dan E(G ) v_i v_j notin E(G) v_i v_j isin V(G) . Misalkan R merupakan ring komutatif dengan unity dengan 1 adalah unsur identitas pada R. Himpunan unit di R membentuk himpunan titik pada graf sederhana sedemikian hingga dua titik berbeda x y isin R terhubung jika xy 1 asumsikan bahwa 1 terhubung ke semua unit R. Graf ini disebut graf identitas atau graf unit dari R. Hasil penelitian menunjukkan bahwa untuk p isin 5 7 11 13 17 polinomial karakteristik graf identitas I(Z_2p) adalah polinomial berderajat p-1 yaitu p( lambda ) lambda ( lambda -1) ((p-1)/2-1) ( lambda -3) ((p-1)/2-1) ( lambda -p 1) dan polinomial karakteristik komplemen graf identitas (I(Z_2p ) ) adalah p( lambda ) ( lambda -p 2) ((p-3)/2) ( lambda -p 4) ((p-3)/2) lambda 2. Selain itu diperoleh hasil bahwa spektrum pada graf identitas I(Z_2p) dan komplemen graf identitas (I(Z_2p ) ) dibangun oleh himpunan nilai-nilai eigen lambda yang merupakan bilangan bulat.

Informasi Detail

DDC

Rt 572.72076 SAF s

Prodi

Universitas Negeri Malang. Program Studi Matematika, 2022.

Deskripsi Fisik

xvi, 69 lembar : ilus. ; 30 cm

Bahasa

Indonesia

No Reg

00387/RT/23

Edisi

Tesis (Pascasarjana)--Universitas Negeri Malang. 2022

Subjek

1. BILANGAN BULAT - KOMPLEMEN GRAF
2. INTEGER - COMPLEMENT OF GRAPH

Pembimbing

1. Prof. Drs. Purwanto, Ph.d.;2. Dra. Santi Irawati, M.si, Ph.d.

Lampiran Berkas