Disertasi

Kegagalan konstruksi bukti matematis dengan metode kontradiksi / Deni Hamdani

Abstrak
Bukti matematis merujuk kepada argumen matematis yang terdiri dari pernyataan-pernyataan yang terurut secara logis dan dibangun menurut aturan formal yang bersesuaian sehingga hasilnya dapat memberi kesimpulan yang meyakinkan. Kesimpulan ini kemudian menjadi cara mengomunikasikan ide dari konsekuensi tertentu yang terurut secara logis dan konsekuensi logis tersebut dapat digunakan sebagai hasil berantai dalam membangun teori matematika. Membangun teori matematika melalui bukti matematis berangkat dari proses mengonstruksi bukti serta identifikasi masalah yang muncul di dalamnya. Masalah yang muncul seperti halnya kegagalan konstruksi bukti merupakan kejadian yang diakibatkan oleh ketidaksesuaian dalam langkah konstruksi bukti yang seringkali terjadi ketika berhadapan dengan pernyataan terkuantifikasi misalnya pernyataan universal atau pernyataan eksistensial. Pernyataan terkuantifikasi yang demikian diketahui memiliki fitur kontradiksi yang berisi konsep dan struktur logis yang penting untuk dipahami dan sulit dibuktikan selain dengan menggunakan metode bukti kontradiksi. Oleh karena itu tujuan penelitian ini untuk mengkaji proses terjadinya kegagalan konstruksi bukti matematis menggunakan metode kontradiksi beserta identifikasi sumber yang menyebabkan kegagalan konstruksi. Kajian atas proses dan penyebab terjadinya kegagalan konstruksi bukti matematis dijalankan dengan desain kualitatif yakni penelitian eksploratif dengan pendekatan kualitatif. Partisipan penelitian berasal dari 238 mahasiswa S1 Pendidikan Matematika dan S1 Matematika di salah satu universitas negeri di kota Mataram. Keseluruhan partisipan telah memprogramkan mata kuliah yang memuat konten bukti dan pembuktian dan bersedia menjadi partisipan selama penelitian berlangsung. Data penelitian dikumpulkan dengan sebelumnya mengidentifikasi pemahaman bukti. Analisis penjelasan verbal dan pemahaman bukti yang digunakan dalam membenarkan masalah yang hendak dikonstruksi berhasil mengidentifikasi empat jenis pemahaman bukti yang tersebar pada 27 lembar jawaban partisipan yang konsisten menggunakan pemahaman yang sama pada dua masalah pembuktian yang dikonstruksi. Atas dasar potensi informasi teoritis ditetapkan 7 partisipan sebagai subjek penelitian yang dikelompokkan ke dalam empat kelompok. Penjelasan verbal subjek atas masalah yang dikonstruksi pada setiap kelompok dikonfirmasi melalui wawancara kemudian dikoding untuk menggambarkan skema kegagalan konstruksi bukti. Skema kegagalan konstruksi bukti kemudian dikaji untuk mendeskripsikan proses terjadinya kegagalan konstruksi bukti dan mengidentifikasi sumber penyebab terjadinya kegagalan konstruksi bukti. Hasil penelitian berhasil mengklasifikasikan empat jenis proses konstruksi bukti yang mengalami kegagalan konstruksi bukti matematis. Keempat proses ini adalah (1) proses konstruksi bukti dengan dominasi pemeriksaan empiris suatu proses konstruksi bukti yang berangkat dari memberikan contoh-contoh yang dipilih tanpa memperhatikan sifat yang bersesuaian kemudian digeneralisir untuk membenarkan masalah yang hendak dikonstruksi menggunakan metode kontradiksi. Namun konstruksi bukti masih melibatkan contoh sebagai pengganti aturan formal dan cara membenarkan langkah tindakan konstruksi dalam memunculkan kontradiksi (2) proses konstruksi bukti tanpa didasarkan pada referensial deduktif suatu proses konstruksi bukti yang berangkat dari memberikan contoh krusial yang dipilih dengan memperhatikan sifat tertentu kemudian digeneralisir untuk membenarkan masalah yang hendak dikonstruksi menggunakan metode kontradiksi. Namun konstruksi bukti tidak dapat mengasosiasikan sumber pengetahuan dengan aturan formal yang bersesuaian dalam memunculkan kontradiksi dan lebih mendasarkan kontradiksi yang dimuculkan pada contoh yang dianggap memberi kontrol teoritis atas konstruksi bukti yang dilakukan (3) proses konstruksi bukti dengan keretakan struktural suatu proses konstruksi bukti yang berangkat dari memberikan contoh generik yang memuat sifat formal yang digeneralisir untuk membenarkan masalah yang hendak dikonstruksi menggunakan metode kontradiksi. Namun konstruksi bukti belum sepenuhnya dapat mengaktivasi dan menggunakan pemahaman atas aturan formal dalam memunculkan kontradiksi dan mengharuskan memanggil pengetahuannya dengan contoh sehingga struktur/rantai konstruksi masih mengalami keretakan dan terlihat seperti pembuktian intelektual dan (4) proses konstruksi bukti dengan ketidaklengkapan argumen konstruksi suatu proses konstruksi bukti yang berangkat dari memberikan contoh yang memuat sifat formal yang kompleks kemudian digeneralisir untuk membenarkan masalah yang hendak dikonstruksi menggunakan metode kontradiksi. Walaupun konstruksi bukti sudah dapat mengaktivasi dan menggunakan pemahamannya namun terdapat argumen yang belum lengkap dalam menjustifikasi munculnya kontradiksi. Sumber apa saja yang dibutuhkan dan bagaimana sumber ini diaktivasi dan digunakan dalam mengonstruksi bukti menjelaskan lebih banyak hambatan yang mengakibatkan kegagalan konstruksi daripada logika formal yang termuat dalam bukti kontradiksi. Oleh karenanya sumber yang menyebabkan terjadinya kegagalan konstruksi bukti matematis tidak hanya dilihat dari sumber/konsep yang dibutuhkan yang menimbulkan hambatan ketika berhadapan dengan bukti kontradiksi melainkan juga dilihat dari logika formal yang termuat pernyataan terkuantifikasi yang sulit dikonstruksi selain menggunakan metode kontradiksi. Penelitian ini masih memiliki keterbatasan karena itu perlu adanya kajian atas (1) mode pemahaman bukti dalam membenarkan suatu pernyataan eksistensial yang hendak dibuktikan dengan metode kontradiksi (2) proses argumentasi dalam setiap langkah konstruksi bukti menggunakan metode kontradiksi pada pernyataan eksistensial (3) meta-teoritis pembuktian dengan kontradiksi ketika terjadi scaffolding sosiomatematis dari konstruksi bukti gagal menuju konstruksi bukti matematis dan (4) eksplorasi pembentukan skema konseptual dalam konstruksi bukti pernyataan eksistensial berdasarkan skema bukti Harel amp Sowder (1998) dan Ko amp Knuth (2009).

Informasi Detail

DDC

Rd 510.76 HAM k

Prodi

Universitas Negeri Malang. Program Studi Pendidikan Matematika, 2025.

Deskripsi Fisik

xxi, 452 Lembar. : ilus. ; 30 cm.

Bahasa

Indonesia

No Reg

00065/RD/25

Edisi

Disertasi (Pascasarjana) - Universitas Negeri Malang. 2025

Subjek

1. MATEMATIKA - STUDI DAN PENGAJARAN
2. MATEMATIKA - KEGAGALAN KONSTRUKSI BUKTI
3. MATHEMATICS - STUDY AND TEACHING

Pembimbing

1. Prof. Drs. Purwanto, Ph.d.;2. Dr. Sukoriyanto, M.si;3. Lathiful Anwar, S.si, M.sc

Lampiran Berkas